Minkowski凸体定理

Minkowski 凸体定理是数的几何的核心定理：足够"大"且中心对称的凸体必含非零格点。

定义

集合 $S\subseteq\mathbb{R}^n$ 称为中心对称的，若 $x\in S$ 蕴含 $-x\in S$。

定理

设 $\Lambda$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的格，$S$ 是中心对称的凸集。

• 若 $\operatorname{vol}S>2^n\det\Lambda$，则 $S$ 含非零格点 $\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}$
• 若 $S$ 还是紧集，则条件放宽为 $\operatorname{vol}S\ge 2^n\det\Lambda$

推导

把 基本区域 中的 Blichfeldt 定理用于 $\frac12 S$：$\operatorname{vol}\frac12 S>\det\Lambda$，故存在 $x\ne y\in\frac12 S$ 使 $x-y\in\Lambda$。由对称性 $-y\in\frac12 S$，凸性给出

$$\frac12(x-y)=\frac{x+(-y)}2\in\frac12 S$$

故 $x-y\in S\cap\Lambda$，且 $x\ne y$ 保证其非零。

应用

• 狄利克雷逼近定理：对任意 $\alpha\in\mathbb{R}$ 与 $\varepsilon>0$，存在整数 $p,q$ 使 $|q\alpha-p|<\varepsilon$、$|q|<\frac1\varepsilon$
• 拉格朗日四平方定理：每个正整数可表为四个平方数之和
• Minkowski界：证明代数数域理想类群有限并给出类数计算方法

示例

• $n=2$，$\Lambda=\mathbb{Z}^2$：圆盘 $x^2+y^2\le\frac94$ 面积 $2.25\pi>4=2^2\det\Lambda$，必含非零整点，事实上 $(1,1)$ 就在其中