拉格朗日四平方定理

拉格朗日四平方定理断言每个正整数都可表为四个整数的平方和，是 Minkowski凸体定理 的经典应用。

定理

每个正整数 $n$ 都可写成

$$n=a^2+b^2+c^2+d^2,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{Z}$$

推导

1. Euler 四平方恒等式：两个四平方和之积仍是四平方和

$$(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)=(ae+bf+cg+dh)^2+(af-be+ch-dg)^2+(ag-bh-ce+df)^2+(ah+bg-cf-de)^2$$

故只需证明 $1$、$2$ 与每个奇素数可表
2. 对奇素数 $p$：平方数集合 $\{x^2\}$ 与 $\{-1-y^2\}$ 各有 $\frac{p+1}{2}$ 个元素，鸽巢原理给出 $x,y$ 使 $x^2+y^2+1\equiv0\pmod p$。构造格

$$\Lambda=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{Z}^4:c\equiv xa+yb,\ d\equiv ya-xb\pmod p\}$$

其行列式 $\det\Lambda=p^2$。四维球体积为 $\frac{\pi^2R^4}{2}$，取 $R=\sqrt{2p}$ 时体积 $2\pi^2p^2>16p^2=2^4\det\Lambda$，由 Minkowski 凸体定理存在非零 $(a,b,c,d)\in\Lambda$ 使 $a^2+b^2+c^2+d^2<2p$；又

$$a^2+b^2+c^2+d^2\equiv(1+x^2+y^2)(a^2+b^2)\equiv0\pmod p$$

故该平方和是 $p$ 的正倍数且小于 $2p$，只能等于 $p$
3. $2=1^2+1^2+0^2+0^2$，$1=1^2$，再由恒等式完成一般情形

示例

• $7=2^2+1^2+1^2+1^2$
• $23=3^2+3^2+2^2+1^2$
• $31=5^2+2^2+1^2+1^2$