格（几何数论）

几何数论中的格是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中由一组线性无关向量生成的离散加法子群，是把离散整数结构与连续几何联系起来的基本对象；Minkowski凸体定理等核心定理都以格为舞台。

定义

设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中线性无关的向量，格为

$$\Lambda=\left\{\sum_{i=1}^n m_i v_i:m_i\in\mathbb{Z}\right\}$$

$\{v_i\}$ 称为 $\Lambda$ 的一组基，$n$ 称为秩；秩等于 $n$ 的格称为满格。

行列式

格 $\Lambda$ 的行列式定义为基向量所张平行多面体的体积

$$\det\Lambda=\left|\det(v_1,\dots,v_n)\right|$$

它不依赖基的选取：换基相当于左乘一个行列式为 $\pm1$ 的整矩阵。

性质

• 格是 $\mathbb{R}^n$ 的离散加法子群：存在 $\varepsilon>0$ 使任意两个不同格点的距离都不小于 $\varepsilon$
• 子格 $\Lambda'\subseteq\Lambda$ 的指标 $[\Lambda:\Lambda']=\det\Lambda'/\det\Lambda$
• 平均密度：$\displaystyle\lim_{R\to\infty}\frac{\#(\Lambda\cap B_R)}{\operatorname{vol}B_R}=\frac1{\det\Lambda}$，即单位体积中平均有 $1/\det\Lambda$ 个格点

示例

• $\mathbb{Z}^n$：$\det\mathbb{Z}^n=1$
• 正三角格（六角格）：由 $(1,0)$ 与 $(1/2,\sqrt3/2)$ 生成，$\det=\sqrt3/2$
• 高斯圆问题：圆 $x^2+y^2\le R^2$ 内整点数为 $\pi R^2+O(R)$，误差项由格点计数与边界估计给出