代数整数

普通整数是方程 $x-a=0$ 的根；代数整数把这一概念推广为首一整系数方程的根，是数域中代替整数的对象。

定义

复数 $\alpha$ 称为代数整数，若存在首一多项式

$$f(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_0, \qquad c_i \in \mathbb{Z}$$

使得 $f(\alpha) = 0$。等价地，$\alpha$ 的有理系数最小多项式首一且整系数。

代数数（$\mathbb{Q}$ 系数多项式的根）不一定是代数整数：$\dfrac12$ 是代数数但不是代数整数。

性质

• 有理数 $q\in\mathbb{Q}$ 是代数整数当且仅当 $q\in\mathbb{Z}$（有理根定理）
• 全体代数整数构成 $\mathbb{C}$ 的一个子环：代数整数的和、差、积仍是代数整数
• 若 $\alpha$ 是代数整数，则 $\alpha$ 的每个代数共轭（最小多项式的根）也是代数整数

示例

• $\sqrt{2}$：$x^2-2$ 的根
• $\mathrm{i}$：$x^2+1$ 的根
• $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$：$x^2-x-1$ 的根
• $\sqrt[3]{2}$：$x^3-2$ 的根
• $\dfrac12$ 不是代数整数，其最小多项式 $2x-1$ 不首一
• 高斯整数 $a+b\mathrm{i}\ (a,b\in\mathbb{Z})$ 都是代数整数