代数数域

代数数域是有理数域的有限扩张，代数学基本工具（范数、迹）使整数性质从 $\mathbb{Q}$ 迁移到数域。

定义

代数数域（数域）是 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张 $K$，扩张次数 $[K:\mathbb{Q}]=n$ 有限。$K$ 中全体代数整数构成代数整数环 $\mathcal{O}_K$。

范数与迹

对 $\alpha\in K$，考虑 $\mathbb{Q}$-线性映射 $T_\alpha:K\to K,\ x\mapsto \alpha x$。定义

$$\mathrm{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\mathrm{Tr}(T_\alpha), \qquad N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)=\det(T_\alpha)$$

若 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ 是 $K$ 的全部 $\mathbb{Q}$-嵌入（$\mathbb{C}$ 值），则 $N(\alpha)=\prod_{i=1}^{n}\sigma_i(\alpha)$。

性质

• 迹 $\mathrm{Tr}$ 是 $\mathbb{Q}$-线性函数；范数 $N$ 是乘性的：$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$
• $\alpha\in\mathcal{O}_K \Rightarrow \mathrm{Tr}(\alpha),\ N(\alpha)\in\mathbb{Z}$
• $\alpha\in\mathcal{O}_K$ 是单位 $\iff N(\alpha)=\pm 1$

示例

• $K=\mathbb{Q}(\mathrm{i})$：$N(a+b\mathrm{i})=a^2+b^2$
• $K=\mathbb{Q}(\sqrt2)$：$N(a+b\sqrt2)=a^2-2b^2$；$\alpha=1+\sqrt2$ 的范数 $-1$，故是单位，且 $\pm(1+\sqrt2)^k$ 给出 Pell 方程 $a^2-2b^2=\pm1$ 的全部解