佩尔方程（数论）

佩尔方程 $x^2-Dy^2=1$ 总有无限多组整数解，全部解由最小解（基本解）的幂生成；本页侧重数论视角（连分数与代数数域），应试递推与例题见 佩尔方程。

定义

设 $D$ 为正的非平方整数，称方程

$$x^2-Dy^2=1$$

为佩尔方程。

解的结构

• 方程必有非平凡整数解；称 $x>1$ 的最小解 $x_1+y_1\sqrt D$ 为基本解
• 全部正整数解由

$$x_n+y_n\sqrt D=(x_1+y_1\sqrt D)^n,\qquad n=1,2,\dots$$

给出

• 负佩尔方程 $x^2-Dy^2=-1$ 不一定有解（有解当且仅当 $\sqrt D$ 的连分数周期为奇数）；有解时其解穿插在 $+1$ 方程的解之间

基本解的求法

基本解可由 $\sqrt D$ 的连分数展开求出：$\sqrt D=[a_0;\overline{a_1,\dots,a_\ell}]$，取适当的收敛子得基本解。例：$\sqrt2=[1;\overline2]$，收敛子 $3/2$ 给出基本解 $3+2\sqrt2$。

代数数域视角

解对应 $\mathbb{Q}(\sqrt D)$ 中范数为 $1$ 的单位元：$N(x+y\sqrt D)=x^2-Dy^2=1$。由狄利克雷单位定理，$\mathcal{O}_K$ 的单位群秩为 $1$，故解由单个基本单位生成（见代数数域、代数整数）。

示例

• $x^2-2y^2=1$：基本解 $3+2\sqrt2$，解为 $(3,2),\ (17,12),\ (99,70),\dots$
• $x^2-3y^2=1$：基本解 $2+\sqrt3$，解为 $(2,1),\ (7,4),\ (26,15),\dots$
• $x^2-5y^2=1$：基本解 $9+4\sqrt5$（由 $(2+\sqrt5)^2$ 得到，因 $x^2-5y^2=-1$ 有解 $2+\sqrt5$）