持久图

持久同调产生无穷多条持久区间，难以直接比较。持久图 把每条区间画成平面上的一个点，让"哪个特征重要"变成"哪个点离对角线远"。

需先掌握持久同调中出生/死亡/持久区间的定义。

定义

把滤过中每个同调类的出生值 $b$ 与死亡值 $d$ 记为点 $(b,d)$（$b<d$，位于对角线上方），连同对角线本身，得到的多重集称为持久图 $D$。等价表示是条形码：每条区间 $[b,d)$ 画成一根从 $b$ 到 $d$ 的横条，长度即持续长度 $d-b$。

性质

• 瓶颈距离 $d_B(D_1,D_2)=\inf_{\gamma}\sup_x\|x-\gamma(x)\|_\infty$：$\gamma$ 是 $D_1$ 的点到 $D_2$ 的点或对角线的匹配
• 稳定性定理（Cohen–Steiner–Edelsbrunner–Harer）：把过滤看作单纯形上的函数 $f$，则 $d_B(D(f),D(g))\le\|f-g\|_\infty$，即持久图对输入扰动 1-Lipschitz——这是拓扑数据分析可用于含噪数据的理论保证
• 到对角线距离大的点对应显著特征，贴近对角线的点视为噪声

示例

• 正方形四顶点（边长 1）的 Rips 过滤：$H_1$ 给出远离对角线的点 $(1,\sqrt2)$，其余点贴近对角线
• 两个同心圆采样：$H_1$ 有两个长寿点，对应两圈

应用

持久图作为数据的"拓扑指纹"用于分类与统计检验（Wasserstein/瓶颈距离核、persistent homology 特征向量）；稳定性定理保证机器学习管线中的鲁棒性。