线性齐次差分方程

线性齐次差分方程是没有外部输入的基本递推模型，通解完全由特征根决定。需先掌握差分方程基础与线性差分方程的求解中的特征方程法。

• 定义：一般形式为：

  $$a_n + c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \dots + c_k a_{n-k} = 0$$

• 解法思路：假设解的形式为 $a_n = r^n$，代入得到特征方程：

  $$r^k + c_1 r^{k-1} + \dots + c_k = 0$$

  解出 $r_1, r_2, \dots$，通解为：

  $$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n + \dots$$

• 实根与复根：
  • $r_i \in \mathbb{R}$ 表示指数增长或衰减。
  • $r_i \in \mathbb{C}$ 表示振荡行为。
• 与矩阵的关系：可以用矩阵形式表示递推关系，矩阵的特征值即为递推关系的根。