复指数函数

复指数函数定义为

$$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$$

当 $y=0$ 时退化为实指数 $e^x$；当 $x=0$ 时给出欧拉公式 $e^{iy} = \cos y + i\sin y$。

性质

• 全纯（整函数），且 $\dfrac{d}{dz} e^z = e^z$。
• 加法公式 $e^{z_1+z_2} = e^{z_1} e^{z_2}$ 仍成立。
• 周期性：$e^{z+2\pi i} = e^z$，基本周期为 $2\pi i$——这是与实指数函数最重要的区别。
• $|e^z| = e^x$，故 $e^z$ 处处不为零。

与三角函数的关系

由 $e^{iz} = \cos z + i\sin z$ 与 $e^{-iz} = \cos z - i\sin z$ 解出

$$\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

由此可将三角函数推广到复数域（见复三角函数与双曲函数）。