全纯函数

全纯函数又称正则函数（regular function），与解析函数在单复变下同义，是复分析的核心对象：定义在复平面开子集上的复值函数，在每个点都复可微。在整个复平面上全纯的函数称为整函数。

定义

设开集 $U \subseteq \mathbb{C}$，函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$。若在 $U$ 中的任意一点 $z_0$，极限

$$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}} \frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$$

存在，则称 $f$ 在 $U$ 上全纯。等价地，复函数全纯当且仅当满足柯西-黎曼方程。

示例

• 有理函数：
  • 复系数多项式函数是整函数。
  • 复系数有理函数在除去极点以外的区域全纯。例如，函数 $f(z) = \frac{1}{z}$ 在 $\mathbb{C}^*$ 上全纯。
• 由幂级数定义的函数：
  • 若复系数幂级数的收敛半径不为零，则在其收敛区域内定义的函数全纯，且在该区域内无穷可导。
  • 指数函数、三角函数（如 $\sin z$、$\cos z$）和双曲函数均为整函数。
• 复对数：
  • 在连通集 $U$ 上，若函数 $L$ 满足 $\exp(L(z)) = z$，则称其为复对数函数。
  • 等价地，若全纯函数 $L$ 在 $U$ 上以 $z \mapsto 1/z$ 为导数，且存在一点 $z_0$ 使得 $\exp(L(z_0)) = z_0$，则称其为复对数函数。
• 幂函数：
  • 在 $\mathbb{C}^*$ 的开子集 $U$ 上，若存在复对数 $L$，则任意复数 $a$ 的幂函数可定义为 $z^a = \exp(aL(z))$。
  • 特别地，对于正整数 $n$，有 $z^{1/n} = \exp((1/n)L(z))$，满足 $(z^{1/n})^n = z$。

判定

证明一个函数 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 是正则（全纯）函数，可用以下任一等价条件：

1. 复可微：$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ 在定义域内处处存在。
2. 柯西-黎曼方程：$u,v$ 实可微且满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$、$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
3. 幂级数展开：$f$ 在每点局部等于收敛幂级数 $\sum a_n(z-z_0)^n$，即 $f$ 是解析函数。

反之，要说明一个函数不是正则函数，只需找一点破坏上述任一条件，例如 $f(z)=\bar z$ 处处不满足柯西-黎曼方程。

性质

• 全纯函数的和、积及复合仍是全纯函数。两个全纯函数的商在分母非零的地方全纯。
• 每个全纯函数在其定义域内无穷可微，并等于其泰勒级数，该级数在完全位于定义域内的开圆盘上收敛。
• 全纯函数满足柯西-黎曼方程，该方程组包含两个偏微分方程。
• 在导数非零的点附近，全纯函数是共形的，即保持小图形的角度和形状。
• 柯西积分公式表明，全纯函数在圆盘内的值由其在盘边界上的取值完全决定。

多复变量函数

多复变量函数在一点全纯和解析，若它局部可扩展为收敛的各个变量的幂级数。这比满足柯西-黎曼方程的条件更强。事实上，多复变量函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。

扩展到泛函分析

全纯函数的概念可扩展到泛函分析中的无穷维空间。在巴拿赫空间上，全纯函数的概念可通过Fréchet导数来定义。

注：以上内容参考自维基百科"全纯函数"页面。