调和函数

实值函数 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 内二阶连续可微且满足拉普拉斯方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

则称 $u$ 为 $D$ 内的调和函数。

与解析函数的关系

若 $f = u + iv$ 在 $D$ 内解析，则 $u$、$v$ 都是调和函数：对柯西-黎曼方程 $u_x = v_y$ 关于 $x$ 求导、$u_y = -v_x$ 关于 $y$ 求导后相加即得 $u_{xx} + u_{yy} = 0$。

共轭调和函数

若 $u$、$v$ 都是调和函数且满足柯西-黎曼方程，则 $v$ 称为 $u$ 的共轭调和函数。给定调和函数 $u$，可通过柯西-黎曼方程积分求出共轭调和函数 $v$（相差一个常数），从而构造解析函数 $f = u + iv$：

$$v(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} -u_y\, dx + u_x\, dy$$

物理意义

调和函数是二维稳定温度场、静电势、无旋无源流场的速度势与流函数等物理量的数学模型（见柯西-黎曼方程）。