复三角函数与双曲函数

复三角函数由复指数函数定义：

$$\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \quad \tan z = \frac{\sin z}{\cos z}$$

复双曲函数类似：

$$\sinh z = \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$$

性质

• 均为整函数；$\sin z$、$\cos z$ 的零点与实数情形相同（$z = k\pi$、$\frac{\pi}{2}+k\pi$）。
• 与双曲函数的关系：$\sin iz = i\sinh z$，$\cos iz = \cosh z$；反之 $\sinh iz = i\sin z$，$\cosh iz = \cos z$。
• 周期性：$\sin z$、$\cos z$ 周期 $2\pi$；$\sinh z$、$\cosh z$ 周期 $2\pi i$。
• 无界性：复正弦、余弦不再有界（如 $\cos iy = \cosh y \to \infty$），与实函数的 $|\sin x|\le 1$ 根本不同。
• 恒等式 $\sin^2 z + \cos^2 z = 1$、和角公式等在复数域仍成立。

与实函数的差异

实数域中三角函数有界；复平面中失去有界性。由刘维尔定理，有界整函数必为常数，因此非常数整函数（如 $\sin z$）必然无界。