对称性

对称性刻画"对象在某种变换下保持不变"的结构性质：圆在任意旋转下不变，偶函数满足 $f(-x)=f(x)$。它是函数奇偶性的根源，也与群、对称矩阵等深层结构直接相关。

需先掌握函数（奇偶性的载体）与映射（变换的语言）。

定义

称对象在变换 $T$ 下具有对称性，若 $T$ 作用后对象保持不变。对一元函数 $f$：

• 偶函数：$f(-x)=f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称
• 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称

一般地，关于某直线（轴）对称称为轴对称，关于某点对称称为中心对称，绕某点旋转 $360^\circ/n$ 后不变称为 $n$ 重旋转对称。

性质

• 四则运算：偶±偶=偶、奇±奇=奇、偶×偶=偶、奇×奇=偶、偶×奇=奇
• 可导性：可导偶函数的导数为奇函数，可导奇函数的导数为偶函数
• 分解唯一性：定义在对称区间上的函数 $f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$，前者为偶部、后者为奇部
• 积分化简：$f$ 为奇函数 $\Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x=0$；$f$ 为偶函数 $\Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$

示例

• $f(x)=x^2$ 是偶函数，$f(x)=x^3$ 是奇函数；$f(x)=\sin x$ 奇函数、$f(x)=\cos x$ 偶函数
• 圆的旋转对称性、正方形的 $D_4$ 对称群
• 线性代数中 $A=A^T$ 的对称矩阵在正交变换下保持对称

应用

• 定积分与重积分：利用对称性减半积分区间或直接判零，化简计算
• Fourier 级数：偶函数只含余弦项、奇函数只含正弦项，是周期信号展开的基础
• 线性代数：对称矩阵可正交对角化（谱定理），正交变换保持内积与长度
• 群论与几何：群论中的对称群与二面体群刻画图形、晶体的全部对称变换