周期性

周期性刻画"函数值按固定间隔重复"的结构性质：$\sin x$ 每隔 $2\pi$ 重复一次。它是函数的基本特性之一，可视为对称性中平移不变的特例（$f(x+T)=f(x)$），也是三角函数与傅里叶级数展开的前提。

需先掌握函数（周期性的载体）与三角函数（最基本的周期函数）。

定义

设函数 $f$ 定义在数集 $D$ 上，若存在正数 $T$，使得对一切 $x\in D$（且 $x\pm T\in D$）有

$$f(x+T)=f(x)$$

则称 $f$ 为周期函数，$T$ 称为 $f$ 的一个周期。若存在最小的正周期，则称其为基本周期（最小正周期）。

性质

• 若 $T$ 是 $f$ 的周期，则 $nT$（$n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$）也是 $f$ 的周期
• 周期伸缩：若 $f$ 的周期为 $T$，则 $g(x)=f(ax+b)$（$a\neq 0$）的周期为 $T/|a|$
• 可公度性：周期分别为 $T_1,T_2$ 的两个函数之和仍为周期函数，当且仅当 $T_1/T_2$ 为有理数；此时和函数的周期为两者的最小公倍周期
• 有界性：$\mathbb{R}$ 上连续的周期函数有界，且能取得最大值与最小值（只需考察一个周期区间）
• 积分不变：周期函数在任意长度恰为一个周期的区间上积分相等，$\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x$

示例

• $\sin x$、$\cos x$ 的基本周期为 $2\pi$；$\tan x$ 的基本周期为 $\pi$
• $f(x)=\sin 2x$ 的基本周期为 $\pi$（由周期伸缩 $2\pi/|2|$ 得）
• 常函数以任意正数为周期，无基本周期
• 复指数 $e^{i\omega t}$ 是基本周期为 $2\pi/\omega$ 的周期信号

应用

• Fourier 级数：周期信号可展开为傅里叶级数，分解为基频与谐波的叠加
• 波动与振动：波动方程的解常含周期性因子，用于弦振动、交流电等问题
• 物理学：晶体学中布洛赫（Bloch）定理利用晶格周期性化简薛定谔方程
• 工程与天文：声波、信号采样、天体运动等周期现象的分解与合成