正弦与余弦函数的图象与性质

正弦与余弦函数的图象把三角函数从"直角三角形中的比值"推广为描述一切周期现象的数学模型：声波、交流电、简谐振动都能表示为 $\sin$ 与 $\cos$ 的叠加。

需先掌握三角函数的定义与常用三角函数值表（特殊角的函数值），并理解周期性的一般概念（周期与最小正周期）。

定义

$y=\sin x$ 与 $y=\cos x$ 是定义域为 $\mathbb{R}$、值域为 $[-1,1]$ 的周期函数。

图象

正弦曲线 $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的五个关键点：

$$(0,0),\quad \left(\frac{\pi}{2},1\right),\quad (\pi,0),\quad \left(\frac{3\pi}{2},-1\right),\quad (2\pi,0)$$

余弦曲线 $y=\cos x$ 由正弦曲线向左平移 $\pi/2$ 得到（$\cos x=\sin(x+\pi/2)$），五个关键点为 $(0,1),\left(\frac{\pi}{2},0\right),(\pi,-1),\left(\frac{3\pi}{2},0\right),(2\pi,1)$。用这五个点即可作出大致图象（五点作图法）。

性质

• 周期性：最小正周期 $2\pi$（由周期性定义，$\sin(x+2\pi)=\sin x$ 且无更小正周期）
• 奇偶性：$\sin(-x)=-\sin x$（奇函数，图象关于原点中心对称）；$\cos(-x)=\cos x$（偶函数，图象关于 $y$ 轴对称）
• 零点：$\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$；$\cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
• 最值：$\sin x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 取最大值 $1$，在 $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 取最小值 $-1$；$\cos x$ 在 $x=2k\pi$ 取最大值 $1$，在 $x=\pi+2k\pi$ 取最小值 $-1$
• 单调性：$\sin x$ 在 $[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$ 递增，在 $[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$ 递减；$\cos x$ 在 $[-\pi+2k\pi,2k\pi]$ 递增，在 $[2k\pi,\pi+2k\pi]$ 递减

一般正弦型函数

$y=A\sin(\omega x+\varphi)+k$（$A,\omega>0$）中：

• 振幅 $A$：决定图象纵向伸缩（$|A|$ 倍）
• 周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$
• 相位 $\varphi$：决定图象水平平移（左移 $\varphi/\omega$）
• 垂直位移 $k$

示例

$y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的振幅为 $2$，周期 $T=\dfrac{2\pi}{3}$，相位 $\pi/4$（图象较 $y=\sin x$ 左移 $\pi/12$、纵向拉伸 2 倍）。

应用

• 简谐振动与交流电：位移、电流随时间按 $A\sin(\omega t+\varphi)$ 变化
• 波的叠加：和差化积与积化和差把两个同频波的合成化为幅相调制
• 学习路径：图象与性质是理解周期性的直观来源，也是后续微积分中正弦函数的导数、积分与和角公式几何意义的图形基础