泊松方程

椭圆型偏微分方程，是拉普拉斯方程的推广，描述带源项的稳态场分布。

定义

$$\nabla^2 u = f$$

其中 $u$ 为势函数（如静电势、重力势、温度场），$f$ 为源项（电荷密度、质量密度、热源）。当 $f = 0$ 时退化为拉普拉斯方程。

物理背景

• 静电学：$\nabla^2 \phi = -\rho / \varepsilon_0$（$\rho$ 电荷密度）
• 引力：$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho$
• 稳态热传导：$\nabla^2 T = -\frac{q}{\kappa}$（$q$ 单位体积热源）

求解方法

• 分离变量法：规则区域（矩形、圆形、球形）配边界条件
• Green 函数法：基本解 $\Phi(x) = -\frac{1}{4\pi |x|}$（三维），解为

$$u(x) = \int_\Omega G(x, y) f(y) \, dy$$

• 变分/数值方法：有限差分法、有限元法
• 周期/边界条件由 Dirichlet、Neumann、Robin 混合构成

基本性质

• 解由源项 $f$ 与边界条件共同确定（唯一性：给定边界条件解唯一）
• 平均值性质：调和部分（$f=0$）满足均值定理
• 椭圆正则性：$f$ 越光滑，解越光滑
• 与热方程不同，泊松方程描述稳态（与时间无关）