随机过程的统计描述

刻画随机过程统计特征的手段。由于随机过程是一族随机变量 $\{X(t): t \in T\}$，其统计描述通过有限维分布族及其数字特征给出。

有限维分布族

对任意 $n$ 个时刻 $t_1, \dots, t_n$，随机向量 $(X(t_1), \dots, X(t_n))$ 的联合分布称为 $n$ 维分布函数：

$$F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n) = P\{X(t_1)\le x_1, \dots, X(t_n)\le x_n\}$$

全部有限维分布函数构成过程的统计完备描述。

数字特征（按时间的一元/二元函数）

均值函数

$$\mu_X(t) = E[X(t)]$$

反映过程在时刻 $t$ 的平均水平。

方差函数

$$\sigma_X^2(t) = \operatorname{Var}[X(t)] = E\left[(X(t)-\mu_X(t))^2\right]$$

自相关函数与自协方差函数

$$R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$$

$$C_X(t_1, t_2) = \operatorname{Cov}[X(t_1), X(t_2)] = R_X(t_1,t_2) - \mu_X(t_1)\mu_X(t_2)$$

两者刻画过程在两个时刻取值的相关程度，是相关函数研究的核心对象。

互相关与互协方差

对两个过程 $X(t), Y(t)$：

$$R_{XY}(t_1,t_2) = E[X(t_1)Y(t_2)], \qquad C_{XY}(t_1,t_2) = \operatorname{Cov}[X(t_1), Y(t_2)]$$

$R_{XY} \equiv 0$ 称 $X,Y$ 正交（对零均值过程，正交与互不相关等价）。

数字特征只利用了一、二阶矩，是对过程粗略但实用的描述；对正态过程，均值函数与自相关函数完全决定其统计特性。