局部凸空间

很多分析对象（分布、测度、弱拓扑）没有合适的范数，却需要"足够多的凸开集"来分离点与凸集。局部凸空间用一族半范数生成拓扑，是泛函分析中最一般的实用框架。

局部凸空间

拓扑向量空间 $X$ 称为局部凸的，若存在一族半范数 $\{p_\alpha\}$ 使得 $\{x:p_\alpha(x-x_0)<\varepsilon\}$（$\varepsilon>0$，$\alpha$ 任意）构成 $x_0$ 的邻域基；等价地，原点存在由凸集组成的邻域基。

性质

• Hausdorff 局部凸空间的拓扑可由一族分离的半范数给出
• Minkowski 泛函：$0$ 的吸收凸邻域 $U$ 定义半范数 $p_U(x)=\inf\{t>0:x\in tU\}$，构成局部凸结构的"对偶"刻画
• 巴拿赫空间、Hilbert 空间、Fréchet空间都是局部凸空间的特例

例子

• 一切赋范空间
• 点态收敛拓扑下的函数空间（弱拓扑的雏形）
• 分布空间 $\mathcal D'(\Omega)$ 的弱*拓扑

后续

局部凸空间是弱拓扑、对偶理论与广义函数理论的共同基础；Hahn–Banach 定理在此框架下以几何形式（分离凸集）给出。