迹定理

$W^{1,p}$ 函数是几乎处处定义的，边界是零测集——"边界值"没有天然意义。迹定理解决这个困难：通过磨光逼近，可以给每个 $W^{1,p}$ 函数定义唯一的边界取值（迹），且映射连续。它也刻画了 $W^{1,p}_0$：恰是迹为零的函数。

迹定理

设 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为有界 Lipschitz 区域，$1\le p<\infty$。存在连续线性算子

$$T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega)$$

使得对 $u\in C^\infty(\overline\Omega)$ 有 $Tu=u|_{\partial\Omega}$，且

$$\|Tu\|_{L^p(\partial\Omega)}\le C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$$

进一步 $T$ 是满射（$1<p<\infty$ 时值域为 $W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)$，分数阶 Sobolev 空间），且

$$W^{1,p}_0(\Omega)=\ker T$$

说明

• 构造：先对磨光/逼近序列 $u_m\in C^\infty(\overline\Omega)$ 证明 $\|u_m|_{\partial\Omega}\|_{L^p}\le C\|u_m\|_{W^{1,p}}$（沿法向积分），再用稠密性延拓
• 分数阶目标空间 $W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)$ 用双范数定义，说明迹比 $L^p$ 稍正则但差一阶导数
• $\ker T=W^{1,p}_0$ 的意义：Dirichlet 零边值恰是"迹消失"，与 $C_c^\infty$ 闭包一致（见Sobolev空间的基本性质）
• $p=\infty$ 时 $W^{1,\infty}=$ Lipschitz 函数，迹即逐点边界值

应用

• Dirichlet 问题 $-\Delta u=f$，$u|_{\partial\Omega}=g$：把边值 $g$ 延拓为 $\tilde g\in W^{1,2}$，再解 $u-\tilde g\in H^1_0$ 的零边值问题（见弱解）
• 非齐次 Neumann 边值、界面问题的弱形式中都出现迹
• 迹的逆（延拓算子）$E:W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)\to W^{1,p}(\Omega)$ 存在，用于构造边界层与反例

后续

迹定理让"边值条件"在弱框架下有了严格含义；配合Poincaré不等式，Dirichlet 问题的弱解存在唯一性得以完整建立。