黎曼面

黎曼面是处理复对数函数、幂函数等多值函数的几何工具：把各个单值分支作为不同"层"叠加，沿支割线粘合，构造一张曲面，使多值函数在其上成为单值解析函数。

分支点与支割线

• 支点：绕其一周后函数值改变的点，如对数的支点为 $z = 0, \infty$。
• 支割线：连接支点的割线，沿割线切开平面得到单值解析分支（见复对数函数的"割破平面"）。

基本事实

• $w = \sqrt[n]{z}$ 的黎曼面是 $n$ 层曲面（绕支点转 $n$ 周回到原值）。
• $w = \operatorname{Ln} z$ 的黎曼面是无穷多层的螺旋曲面。
• 黎曼面上的函数是单值的，这是解析延拓沿不同路径得到不同分支的几何体现。