素数定理

素数定理是数论中最深刻的结果之一，用黎曼ζ函数的解析性质精确刻画素数在自然数中的分布。

定义

设 $\pi(x)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数，则

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}, \qquad x \to \infty$$

即 $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)\ln x}{x} = 1$。

性质

• 等价形式：第 $n$ 个素数 $p_n \sim n\ln n$
• 对数积分 $\operatorname{Li}(x) = \displaystyle\int_2^x \frac{dt}{\ln t}$ 是更好的近似：$\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O\!\left(x e^{-c\sqrt{\ln x}}\right)$
• 若黎曼猜想成立，则误差可改进为 $\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(\sqrt{x}\,\ln x)$
• 1896 年 Hadamard 与 de la Vallée Poussin 独立证明；核心是证明 $\zeta(s)$ 在直线 $\operatorname{Re} s = 1$ 上无零点

示例

• $\pi(10^4) = 1229$，而 $10^4/\ln 10^4 \approx 1086$、$\operatorname{Li}(10^4) \approx 1246$
• $\pi(10^6) = 78498$，而 $10^6/\ln 10^6 \approx 72382$、$\operatorname{Li}(10^6) \approx 78627$；比值 $\pi(x)\ln x / x$ 随 $x$ 增大趋近 $1$