理想类群

理想类群度量代数整数环"偏离唯一分解"的程度：类数为 1 时唯一分解成立，类数大于 1 时失效。

分式理想

设 $K$ 是数域，$\mathcal{O}_K$ 是其代数整数环。$K$ 的非零加法子群 $J$ 称为分式理想，若存在非零 $c\in\mathcal{O}_K$ 使 $cJ\subseteq\mathcal{O}_K$。分式理想之间可相乘：$J_1J_2=\{\text{有限和 }\sum x_iy_i:x_i\in J_1,\,y_i\in J_2\}$。

形如 $\alpha\mathcal{O}_K\ (\alpha\in K^\times)$ 的称为主分式理想。

理想类群

理想类群是分式理想关于主分式理想的商群：

$$\mathrm{Cl}(K)=\frac{\{\text{非零分式理想}\}}{\{\text{主分式理想}\}}$$

它是有限阿贝尔群（Minkowski 定理），其阶称为类数，记作 $h_K$。

性质

• $h_K=1 \iff \mathcal{O}_K$ 是主理想整环（PID）$\iff \mathcal{O}_K$ 唯一分解（UFD）
• 每个理想类中都含有一个范数不超过 Minkowski 界的整理想（用于具体计算类数）

示例

• $h_{\mathbb{Q}}=1$，$h_{\mathbb{Q}(\mathrm{i})}=1$，$h_{\mathbb{Q}(\sqrt5)}=1$
• $h_{\mathbb{Q}(\sqrt{-5})}=2$：$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中 $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$，两组不可约分解不等价，唯一分解失效