中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 是概率论中的一个基本定理。它描述了在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布趋近于正态分布。该定理为统计学中的许多重要结果提供了理论基础，特别是在进行抽样和推断时。

定理内容

假设我们有一组独立同分布的随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，每个随机变量具有相同的数学期望 $E(X_i) = \mu$ 和方差 $Var(X_i) = \sigma^2$。定义这组随机变量的和为 $S_n$：

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i$$

我们可以将 $S_n$ 标准化，得到标准化变量：

$$Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$$

中心极限定理指出，当 $n$ 足够大时，标准化变量 $Z_n$ 的分布将趋近于标准正态分布 $N(0, 1)$。即：

$$Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

这里，$\xrightarrow{d}$ 表示收敛于分布。

换句话说，对于大样本量 $n$，即使每个随机变量 $X_i$ 的分布不是正态分布，样本均值的分布仍然会近似于正态分布。这一结果在统计学中非常重要，因为它允许我们在很多情况下使用正态分布来进行近似和推断，即使原始数据不符合正态分布。

应用

1. 抽样分布：在实际统计工作中，中心极限定理保证了样本均值的分布可以被近似为正态分布，这使得我们能够对总体参数进行估计和假设检验。
2. 误差分析：在测量和实验中，由于多种独立因素的影响，误差的总和往往近似服从正态分布，因此中心极限定理为误差分析提供了理论支持。

注意事项

1. 独立性：中心极限定理要求随机变量必须是相互独立的。
2. 相同分布：随机变量应具有相同的分布，或至少满足某些弱条件，如有限的期望和方差。
3. 样本量：样本量 $n$ 必须足够大。尽管在许多实际情况中 $n > 30$ 已经足够，但更大的样本量会提供更好的近似。

中心极限定理是概率论和统计学中的一个核心工具，为理解和处理大量随机变量提供了重要的理论支持。