格

格是"任意两个元素都有最小上界与最大下界"的偏序结构，把集合运算、整除等具体例子统一起来。需先掌握二元关系中的偏序概念。

定义

偏序集 $(L,\le)$ 若对任意 $a,b\in L$，上确界 $a\lor b$（join）与下确界 $a\land b$（meet）都存在，则称 $(L,\le)$ 为格。

性质

$\lor$、$\land$ 满足交换律、结合律、幂等律与吸收律（$a\lor(a\land b)=a$，$a\land(a\lor b)=a$）。

• 分配格：$\lor$、$\land$ 互相满足分配律
• 有界格：存在最大元 $1$ 与最小元 $0$
• 补格：每元 $a$ 有补元 $b$ 使 $a\lor b=1,\ a\land b=0$；有补分配格即布尔代数

示例

• 幂集格 $(\mathcal{P}(S),\subseteq)$：$a\lor b=a\cup b$，$a\land b=a\cap b$
• 正整数按整除关系构成格：$a\lor b=\operatorname{lcm}(a,b)$，$a\land b=\gcd(a,b)$

格的命题经对偶原理可自动得到对偶形式。