对偶

把偏序或格中的关系"方向颠倒"后，命题与结构仍然成立，这一对称性称为对偶原理。

定义

对偏序集 $(P,\le)$，定义对偶序 $\le^{\mathrm{op}}$：$a\le^{\mathrm{op}} b\iff b\le a$。$(P,\le^{\mathrm{op}})$ 仍是偏序集。

若 $(L,\le)$ 是格，则 $(L,\le^{\mathrm{op}})$ 也是格，且 join 与 meet 互换：$a\lor^{\mathrm{op}}b=a\land b$。

对偶原理：格中任何由 $\le,\ \ge,\ \lor,\ \land$ 表述的命题，把 $\le$ 与 $\ge$、$\lor$ 与 $\land$ 互换后所得命题依然成立。

示例

分配律 $a\land(b\lor c)=(a\land b)\lor(a\land c)$ 的对偶是 $a\lor(b\land c)=(a\lor b)\land(a\lor c)$，二者同为格的基本性质。

对偶关系源于二元关系方向的反转，其研究对象是格这类序结构。