二元关系

关系描述对象之间的"联系"，是刻画顺序（偏序）与分类（等价）的数学语言，需先掌握集合的笛卡尔积。

定义

设 $A,B$ 为集合，笛卡尔积 $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$ 的任一子集 $R$ 称为从 $A$ 到 $B$ 的二元关系。$A$ 上的二元关系即 $A\times A$ 的子集；$(a,b)\in R$ 记作 $aRb$。

性质

$A$ 上的关系 $R$ 可以满足：

• 自反：$\forall a\in A,\ aRa$
• 对称：$aRb\Rightarrow bRa$
• 传递：$aRb\land bRc\Rightarrow aRc$
• 反对称：$aRb\land bRa\Rightarrow a=b$

重要类型

• 等价关系（自反、对称、传递）：把 $A$ 划分成互不相交的等价类，如整数的模 $m$ 同余
• 偏序关系（自反、反对称、传递）：如实数上的 $\le$、集合的包含 $\subseteq$，由此可定义格

示例

$A=\{1,2,3\}$ 上关系 $\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)\}$ 是自反、传递的，但不对称；"$\le$"是 $\mathbb{R}$ 上的偏序。