佩尔方程

公式

形式如下的二元二次不定方程被称为佩尔方程：

$$x^2 - d \cdot y^2 = 1$$

• 约束条件：$d$ 是一个正整数，且不是完全平方数。
• 求解目标：寻找使 $x$ 和 $y$ 同时为正整数的解 $(x, y)$。
• 核心难点：属于典型的不定方程（两个未知数，一个方程）。普通的实数代数方法无法直接求解，必须在整数域内利用数论性质求解。

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性质

佩尔方程最强大的特性在于：只要找到第一组最小的非零正整数解 $(x_1, y_1)$（称为基解/最小特解），就能通过递推关系自动生成后续所有的无穷多组解。

基于通项的矩阵/复数展开

所有解 $(x_k, y_k)$ 满足以下代数关系：

$$x_k + y_k\sqrt{d} = (x_1 + y_1\sqrt{d})^k \quad (k \in \mathbb{Z}^+)$$

递推公式

将上式展开并对齐有理部分和无理部分，可以得到通用的线性递推数列：

$$x_{k+1} = x_1 \cdot x_k + d \cdot y_1 \cdot y_k$$

$$y_{k+1} = y_1 \cdot x_k + x_1 \cdot y_k$$

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考试对策

在实际的研究生考试（如概率、组合数学、解析几何的整数解问题）中，通常不需要在卷面上默写复杂的数论证明，核心在于快速破局。

策略一：试填法（列举法）寻找基解

因为题目通常只考察前几个较小的解，根号内部必须为完全平方数。

1. 将方程变形为：$x = \sqrt{d \cdot y^2 + 1}$
2. 从最低的正整数 $y = 1, 2, 3 \dots$ 开始代入试算。
3. 一旦开方出来是整数，立即锁定基解 $(x_1, y_1)$。

策略二：利用递推快速拉表

一旦求出 $(x_1, y_1)$，直接代入【2.2】的递推公式，无脑计算出后续的解，避免盲目猜测。

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例题

箱中有黑白球若干, 连续取两个球, 两球皆白概率为 1/2 , 给定奇数偶数限制条件, 求具体数量的最小值

方程构建

由概率方程化简得到关于球数 $N_1$（白）与 $N_2$（黑）的一元二次方程：

$$N_1^2 - (2N_2 + 1)N_1 - (N_2^2 - N_2) = 0$$

求根并取正解：

$$N_1 = \frac{(2N_2 + 1) + \sqrt{8N_2^2 + 1}}{2}$$

转化为佩尔方程

令根号内为完全平方数：$8N_2^2 + 1 = x^2 \implies x^2 - 8N_2^2 = 1$（此处 $d=8$，$y=N_2$）。

求解过程

1. 找基解：代入 $N_2 = 1 \implies x = \sqrt{8(1)^2 + 1} = 3$。得到基解：$(x_1, N_{2,1}) = (3, 1)$。
2. 应用递推式：将 $x_1=3, y_1=1, d=8$ 代入递推公式：

   $$x_{k+1} = 3x_k + 8N_{2,k}$$

   $$N_{2,k+1} = x_k + 3N_{2,k}$$

3. 生成解列表：

$k$	$x_k$	$N_{2,k}$ (黑球)	$N_{1,k} = \frac{2N_{2,k} + 1 + x_k}{2}$ (白球)	总球数 $N = N_1 + N_2$
1	3	1（奇数）	3	4
2	17	6（偶数）	15	21
3	99	35	85	120