数字签名

数字签名是公钥密码的逆用：用私钥"签名"、公钥验证，提供完整性、来源认证与不可否认性。它解决"如何证明消息确实来自某人且未被篡改"的问题，是电子商务、软件分发与区块链交易的基础。

基本原理（RSA 签名）

对消息 $m$，签名者用私钥 $d$ 计算签名

$$s\equiv m^d\pmod n$$

验证者用公钥 $e$ 检查 $s^e\equiv m\pmod n$。$d$ 仅签名者持有，他人无法伪造（见RSA公钥密码）。

哈希后签名

直接对消息签名存在伪造风险（如乘法攻击：$s_1s_2$ 是对 $m_1m_2$ 的合法签名），故实际方案先计算哈希 $h=H(m)$ 再对 $h$ 签名。哈希的抗原像性保证无法由签名反推消息。

其他签名方案

• DSA / ECDSA：基于离散对数（见离散对数问题）；ECDSA 的椭圆曲线版本见椭圆曲线密码学
• 性质：同一消息可多次签名；签名长度与密钥长度同阶

示例（RSA 签名）

沿用 $n=3233$，$d=2753$，$e=17$。对 $m=65$ 签名：$s\equiv65^{2753}\equiv588\pmod{3233}$；验证 $588^{17}\equiv65\pmod{3233}$。

应用

数字签名用于 TLS 证书、代码签名与电子合同；与Shamir秘密共享结合可实现门限签名（多方联合签名）。