Diffie-Hellman密钥交换

Diffie–Hellman（DH）密钥交换（1976）让双方在不安全的信道上协商出共享密钥，是第一个公开的公钥协议。它无需分发秘密，只靠公开参数与各自私密的选择，安全性建立在离散对数问题的困难性上。

协议

公开参数：大素数 $p$ 与模 $p$ 的原根 $g$。

1. Alice 选私密数 $a$，发送 $A\equiv g^a\pmod p$
2. Bob 选私密数 $b$，发送 $B\equiv g^b\pmod p$
3. 双方各自计算共享密钥

$$s\equiv A^b\equiv g^{ab}\equiv B^a\pmod p$$

窃听者看到 $p,g,A,B$，要恢复 $s$ 需解离散对数（DLP）或 Diffie–Hellman 问题（CDH），目前没有多项式算法（见离散对数问题）。

示例

取 $p=23$，$g=5$，Alice 选 $a=6$，Bob 选 $b=15$：

$$A\equiv5^6\equiv8,\qquad B\equiv5^{15}\equiv19\pmod{23}$$

共享密钥 $s\equiv8^{15}\equiv19^{6}\equiv2\pmod{23}$。

安全注意

• 需配合认证（如数字签名）抵御中间人攻击：未认证的 DH 中攻击者可替换 $A,B$
• 实际使用常选安全素数，使 $g$ 生成大素数阶子群，避免小子群攻击

应用

DH 是 TLS、SSH、IPsec 等协议中密钥交换的基础；其椭圆曲线版本 ECDH 见椭圆曲线密码学。