分式线性变换

分式线性变换（莫比乌斯变换）是形如

$$w = \frac{az+b}{cz+d}, \quad ad - bc \neq 0$$

的映射，由平移、旋转/缩放与反演三类基本变换复合而成。

性质

• 共形性：$w' = \dfrac{ad-bc}{(cz+d)^2} \neq 0$，故处处共形。
• 保圆性：把圆（或视为半径无穷大的直线）映为圆或直线。
• 交比不变：变换保持交比 $\dfrac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$ 不变。
• 由三对对应点唯一确定。

典型映射

• $w = \dfrac{z-i}{z+i}$：把上半平面 $\operatorname{Im} z > 0$ 映为单位圆 $|w| < 1$。
• $w = \dfrac{z-a}{z-\bar a}$（$\operatorname{Im} a > 0$）：一般地，把上半平面映为单位圆。