共形映射

共形映射（保形映射）是保持曲线夹角不变的解析函数。若 $f$ 在 $z_0$ 解析且 $f'(z_0) \neq 0$，则 $f$ 在 $z_0$ 附近保持任意两条曲线的夹角（大小与方向均不变），称 $f$ 在 $z_0$ 处共形；在区域 $D$ 内每点都共形的映射称为共形映射。

原理

当 $f'(z_0) \neq 0$ 时，局部有 $f(z) \approx f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)$：微分 $\Delta z$ 被乘以非零复数 $f'(z_0)$，几何上是对 $\Delta z$ 作旋转（旋转角 $\arg f'(z_0)$）与缩放（比例 $|f'(z_0)|$），故任意两条曲线的夹角保持不变。

示例

• $w = z^2$：在 $z_0 \neq 0$ 处共形（$f'(z_0) = 2z_0 \neq 0$）；在 $z_0 = 0$ 处 $f' = 0$，夹角加倍（如两条坐标轴夹角 $\pi/2$ 被映为 $\pi$）。
• $w = e^z$：处处共形（$f' \neq 0$），水平直线映为射线，竖直线映为圆。

应用

把复杂的区域边界通过共形映射化为简单区域（如把上半平面映为单位圆），再在简单区域上求解边值问题，是复分析解决物理与工程问题（流体、电磁场）的经典手段。