独立性

事件的独立性

事件 $A,B$ 独立，当且仅当 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。当 $P(B)>0$ 时，这等价于 $P(A\mid B)=P(A)$。独立不同于互斥：两个正概率互斥事件不会独立。

事件 $A_1,\ldots,A_n$ 相互独立，要求对每个至少含两个指标的子集 $I$ 都有

$$P\!\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\prod_{i\in I}P(A_i).$$

两两独立只要求每一对满足乘法关系，弱于相互独立。

例如独立抛两枚公平硬币，令 $A$ 为第一枚正面，$B$ 为第二枚正面，$C$ 为两枚结果相同。三者概率均为 $1/2$，每对交集概率均为 $1/4$，但 $P(A\cap B\cap C)=1/4\ne1/8$，故两两独立却不相互独立。

随机变量的独立性

一般地，$X,Y$ 独立当且仅当对任意实数 $x,y$，联合分布函数满足 $F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$。离散与有联合密度的情形分别为：

离散随机变量的独立性

连续随机变量的独立性

在这两种情况下，独立性的本质是相同的：一个变量的取值不影响另一个变量的概率分布。这是概率论和统计推断中的一个基本概念。

性质

若 $X,Y$ 独立且均有有限二阶矩，则 $E[XY]=E[X]E[Y]$，从而协方差 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0$，即不相关（反之不成立）。

不相关未必独立。例如 $X\sim U[-1,1]$、$Y=X^2$，有 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，但 $Y$ 完全由 $X$ 决定且不是常量。