强大数定理

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是一列独立同分布的随机变量，满足 $E|X_i|<\infty$，记 $E[X_i]=\mu$（不要求有限方差）。那么有：

$$P\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu \right) = 1$$

上式即几乎必然收敛（以概率 1 收敛）：随着样本数量 $n$ 的增加，样本平均值 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 以概率 1 趋近于总体的期望值 $\mu$，进行大量重复试验时实际观测到的平均结果将接近理论期望值。与弱大数定理（依概率收敛）相比，几乎必然收敛是更强的收敛结论，因此推出依概率收敛。这里两种大数定理可在同一组独立同分布、有限一阶绝对矩假设下成立；不能把结论更强误写成必需假设更强。