布尔矩阵

元素只取 $0,1$、按布尔运算（与、或）进行运算的矩阵，用来以表格形式表示关系与图。

定义

元素取自 $\{0,1\}$ 的矩阵称为布尔矩阵。对同阶矩阵 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 逐元素定义

$$(A\land B)_{ij}=a_{ij}\land b_{ij},\qquad (A\lor B)_{ij}=a_{ij}\lor b_{ij}$$

布尔乘法（尺寸匹配时）

$$(A\odot B)_{ij}=\bigvee_{k}\bigl(a_{ik}\land b_{kj}\bigr)$$

性质与应用

• 二元关系 $R\subseteq A\times B$ 可用关系矩阵 $M_R$ 表示（$a_{ij}=1$ 当且仅当 $iRj$）
• $M_R\odot M_S$ 恰为复合关系 $S\circ R$ 的关系矩阵
• 图的邻接矩阵是布尔矩阵的特例，见图的矩阵表示

示例

$$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$$