集合的运算

由已知集合构造新集合的基本运算，是把若干对象范围合并、筛选或取补的语言。需先掌握集合的概念。

定义

设 $A,B$ 为全集 $U$ 的子集：

• 并集 $A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ 或 } x\in B\}$
• 交集 $A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\in B\}$
• 差集 $A\setminus B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\notin B\}$
• 补集 $\overline{A}=U\setminus A$
• 对称差 $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$

性质

• 幂等律 $A\cap A=A$、$A\cup A=A$；交换律、结合律成立
• 分配律 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$，$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$
• 德摩根律 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$，$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$
• $A\subseteq B\iff A\cap B=A\iff A\cup B=B$

示例

$A=\{1,2,3\},\ B=\{2,3,4\}$：$A\cup B=\{1,2,3,4\}$，$A\cap B=\{2,3\}$，$A\setminus B=\{1\}$，$A\triangle B=\{1,4\}$。

运算的直观图示见维恩图，并集大小的计数见容斥原理。