问题描述

考虑 $z$ 平面上的三角形区域 $S$，其边界由 $x = 1$, $y = 1$, $y = 1 - x$ 给出。对于以下变换，绘制 $S$ 在 $w$ 平面上的影像区域 $S'$，并给出区域边界的方程：

1. $w = z + (1 - \sqrt{3}i)$；
2. $w = 2e^{\frac{\pi i}{6}}z + (1 - \sqrt{3}i)$；
3. $w = z^2$。

步骤

将复平面 $z$-平面中的区域 $S$ 映射到 $w$-平面，通常步骤如下：

1. 在 $z$-平面表征区域 $S$：

将区域的边界用方程或参数形式表示。例如本题三角形区域

$$S: \quad \begin{cases} x = 1, \\ y = 1, \\ y = 1 - x \end{cases}$$

先确认这三条直线的交点，进而确定三角形三个顶点。

2. 将边界线逐条带入变换 $w=f(z)$：

• 当 $f(z)$ 是仿射变换（例如 $w = a z + b$，其中 $a\neq 0$ ）时，直线映射仍然是直线，圆映射仍然是圆或直线；因此可以将边界的直线方程变换到 $w$-平面得到新直线方程。
• 当 $f(z)$ 是非线性变换（例如 $w = z^2$），需要用参数法（或直接消元）求出映射曲线的明式方程。

3. 找出变换后区域 $S'$ 的边界方程：

将上一步得到的三个映射结果写清楚：它们在 $w$-平面是三条什么曲线（或直线），然后就能圈出对应的三角形或其它形状。

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变换类型

一、仿射变换

仿射变换具有形如

$$w = a z + b, \quad a \neq 0,$$

的形式。记 $z = x + i y$，将 $w$ 写成

$$w = u + i v, \quad$$

则

$$w = a z + b \quad \Longrightarrow\quad u + i v = a(x + i y) + b.$$

如果 $a = \alpha + i \beta$，$b = \gamma + i \delta$，则

$$a z + b = (\alpha + i \beta)(x + i y) + (\gamma + i \delta) = (\alpha x - \beta y + \gamma) + i(\beta x + \alpha y + \delta).$$

因此

$$u = \alpha x - \beta y + \gamma, \quad v = \beta x + \alpha y + \delta.$$

在这种变换下：

• 直线 $\alpha_0 x + \beta_0 y + \gamma_0 = 0$ 在 $z$-平面上，会映射成 $w$-平面上一条仍是直线的方程，可通过消去 $(x,y)$ 得到。

• 如果仅是平移 $w=z + b$，那 $(x,y)\mapsto (x+\gamma,\,y+\delta)$，边界线方程非常容易转换：

  • $x=c$ 变为 $u=\gamma + c$；
  • $y=c$ 变为 $v=\delta + c$；
  • $y=mx + n$ 变为 $v = \delta + m(u-\gamma) + n$ 之类的简单直线方程。

示例（第一问）

$$w = z + (1 - \sqrt{3}i),$$

则 $a=1$，$b=1-\sqrt{3}i$。记 $z=x+iy$，$w=u+iv$。由平移可知

$$u = x + 1, \quad v = y - \sqrt{3}.$$

边界直线：

1. $x = 1 \implies u = 2$;
2. $y = 1 \implies v = 1 - \sqrt{3}$;
3. $y = 1 - x \implies v + \sqrt{3} = 1 - (u-1)$
   $\implies v + \sqrt{3} = 2 - u \implies u + v = 2 - \sqrt{3}.$
   这三条即是 $w$-平面的三条直线方程。

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二、非线性变换

若

$$w = f(z)$$

不是单纯的线性/仿射（如 $w=z^2$、$w = \frac{1}{z}$ 等），那直线一般会映射成圆或二次曲线。常用做法是：

1. 给直线参数
   比如本题中边界线 $x=1$，可写成

   $$z = 1 + i t,\quad t\in \mathbb{R}.$$

   然后代入 $w=f(z)$。如果能将 $t$ 消去，就能得到 $w$-平面的隐式方程；或者也可以直接把它当成参数方程。

2. 找顶点映射
   由于是三角形，映射后依然可以在曲线上找到对应的顶点，并将三条曲线连接起来。

示例（第三问）

$$w=z^2, \quad z=x+iy.$$

• 对边界 $x=1$，令 $z = 1 + i t$。

  $$w = (1 + i t)^2 = 1 + 2 i t - t^2 = (1 - t^2) + i\,(2t).$$

  记 $w = u + i v$，则

  $$u = 1 - t^2,\quad v = 2t.$$

  消去 $t$ 可得 $v = 2t \implies t=\tfrac{v}{2}$，再带回 $u=1 - \bigl(\frac{v}{2}\bigr)^2$，即

  $$u = 1 - \frac{v^2}{4},$$

  在 $w$-平面是抛物线。同理可处理 $y=1$ 和 $y=1-x$ 两条边界。

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小结

1. 线性/仿射变换：

   • 直线 $\mapsto$ 直线，圆 $\mapsto$ 圆/直线，方便直接写出新方程；
   • 可先把顶点坐标带入 $w = a z + b$，也可以将直线方程 $\alpha x + \beta y + \gamma=0$ 直接转换。

2. 非线性变换：

   • 多用“参数法”或“消元法”获取映射曲线；
   • 注重顶点映射，结合三条边界映射曲线画出新的区域形状。

以上是一般化的基本思路。先理解“直线 $\mapsto$ 直线/曲线”的规律，再针对线性与非线性分别处理，就能有条不紊地求得边界方程与映射后的区域。

上述做法假设变换结果总能写成 $w=u+iv$，其依据是复数与 $\mathbb{R}^2$ 的一一对应：只要映射的像仍是复数（仿射变换、$z^2$、$e^z$ 等映射的像都在 $\mathbb{C}$ 中），就一定能唯一分解为

$$w=\underbrace{\Re(w)}_{=u}+i\,\underbrace{\Im(w)}_{=v}$$

不存在实部与虚部无法分离的情况。因此对参数形式的边界曲线总能写出 $u(t)=\Re(z(t)^2)$、$v(t)=\Im(z(t)^2)$，无需额外假设“能拆”或“不能拆”。

这类"将区域边界逐条映射"的方法是共形映射的典型例题：仿射变换 $w=az+b$ 处处共形（旋转、缩放、平移），$w=z^2$ 在不含临界点 $z=0$ 的区域上保角，故边界曲线映射后仍保持角度关系。