二维随机变量$(x,y)$，由随机变量$X=X(e)$和$Y=Y(e)$确定，为了方便，我们给他起个名字, 叫$f(x,y)$，则

$$f(x,y)=P((X=x) \cap (Y=y))$$

二维随机变量的性质不仅与单独的X和Y有关，还依赖于两个随机变量的相互关系，因此逐个研究X或Y的性质还不够，需要将(X,Y)作为一个整体来研究

分布函数

设f(X,Y)是二维随机变量，分布函数：

$$F(x,y)=P((X\leq x)\cap(Y\leq y))$$

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二维随机变量 $(X, Y)$，由随机变量 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 确定, 写作$f(x, y)$，定义为联合概率分布：

$$f(x, y) = P((X = x) \cap (Y = y)).$$

联合概率分布描述了随机变量 $X$ 和 $Y$ 同时取某些特定值的概率。其性质不仅取决于单独的 $X$ 和 $Y$，还依赖于两个随机变量的相互关系。因此，仅研究 $X$ 或 $Y$ 的单独性质是不够的，需要将 $(X, Y)$ 作为一个整体来研究。

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分布函数

设 $f(X, Y)$ 是二维随机变量，其分布函数定义为：

$$F(x, y) = P((X \leq x) \cap (Y \leq y)).$$

分布函数 $F(x, y)$ 是联合概率分布在区域 $(-\infty, x] \times (-\infty, y]$ 上的累积概率。

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性质

1. 联合概率密度函数

如果 $(X, Y)$ 是离散随机变量，其联合概率分布表示为：

$$P((X = x) \cap (Y = y)) = f(x, y),$$

其中 $f(x, y)$ 满足：

$$\sum_x \sum_y f(x, y) = 1.$$

对于连续随机变量 $(X, Y)$，联合概率分布由联合概率密度函数 $f(x, y)$ 描述，满足：

$$P((X \in A) \cap (Y \in B)) = \int_A \int_B f(x, y) \, dx \, dy,$$

并且有：

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \, dx \, dy = 1.$$

2. 边缘概率分布

3. 条件概率分布

条件概率分布描述在 $X = x$ 或 $Y = y$ 已知的情况下，另一个随机变量的分布。例如：

$$P(Y = y \mid X = x) = \frac{f(x, y)}{P(X = x)} \quad (\text{离散}),$$

$$f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} \quad (\text{连续}).$$

4. 独立性

如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则联合概率分布满足：

$$f(x, y) = f_X(x) f_Y(y),$$

或概率密度函数满足：

$$P((X = x) \cap (Y = y)) = P(X = x) P(Y = y).$$