反厄米矩阵

共轭转置等于自身取负的复数方阵称为反厄米矩阵（skew-Hermitian matrix，又称斜埃尔米特矩阵）。它与厄米矩阵互补：两者分别充当复数方阵的"纯虚部"与"实部"，且反厄米矩阵正是酉矩阵的李代数——酉群的"无穷小变换"。实矩阵情形下它退化为反对称矩阵。

需先掌握厄米矩阵（共轭转置 $A^\dagger$）与酉矩阵，可对照反对称矩阵理解实情形。

定义

复数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 若满足

$$A^\dagger = -A \quad \Longleftrightarrow \quad a_{ij} = -\overline{a_{ji}},$$

则称 $A$ 为反厄米矩阵。等价地，$iA$ 是厄米矩阵；乘以 $\pm i$ 在反厄米矩阵与厄米矩阵之间一一对应。

性质

• 对角元纯虚数：由 $a_{ii} = -\overline{a_{ii}}$，主对角线元素为纯虚数（或 $0$）
• 特征值纯虚数：反厄米矩阵是正规矩阵，可被酉矩阵酉对角化，特征值全为纯虚数
• 指数映射：$A^\dagger = -A$ 时 $(e^A)^\dagger = e^{A^\dagger} = e^{-A} = (e^A)^{-1}$，故 $e^A$ 是酉矩阵（见矩阵指数）
• 空间分解：$M_n(\mathbb{C})$ 中每个矩阵唯一分解为厄米部分与反厄米部分之和：

  $$A = \frac{A + A^\dagger}{2} + \frac{A - A^\dagger}{2}$$

示例

$$A = \begin{bmatrix} i & 2+i \\ -2+i & 3i \end{bmatrix}, \qquad A^\dagger = -A$$

实反对称矩阵（如 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$）都是反厄米矩阵的特例。

应用

• 李代数：全体 $n$ 阶反厄米矩阵构成酉群 $U(n)$ 的李代数 $\mathfrak{u}(n)$；无迹反厄米矩阵构成 $\mathfrak{su}(n)$（特殊酉群 $SU(n)$ 的李代数）
• 量子力学：可观测量是厄米矩阵（实特征值），时间演化算符 $e^{-iHt}$ 的生成元 $-iH$ 是反厄米的
• 矩阵指数：反厄米矩阵的指数恒为酉矩阵，是矩阵指数把"无穷小酉变换"恢复为有限酉变换的典型素材