切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一类在数学和工程领域广泛应用的正交多项式。它们在近似理论、数值分析、工程设计等领域中特别重要，常用于最佳近似和最小化最大误差问题。

切比雪夫多项式分为两类：第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 和第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$。它们都可以通过递归关系或者显式的三角函数表达式定义。

第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$

• 定义：第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$ 可以定义为在区间 $[-1, 1]$ 上的余弦函数的多项式：

  $$T_n(x) = \cos(n \arccos(x))$$

  对于 $x$ 在 $[-1, 1]$ 区间外的值，这可以扩展为相应的双曲余弦函数。
• 递推关系：

  $$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x$$

  $$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$$

• 性质：
  • $T_n(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上有 $n$ 个不同的零点。
  • 多项式的最大和最小值在 $[-1, 1]$ 上交替出现，并且其绝对值为 1。

第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$

• 定义：第二类切比雪夫多项式 $U_n(x)$ 可以定义为：

  $$U_n(x) = \frac{\sin((n+1) \arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}$$

• 递推关系：

  $$U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x$$

  $$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$$

• 性质：
  • $U_n(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上有 $n$ 个不同的零点。
  • $U_n(x)$ 在闭区间 $[-1, 1]$ 上具有 $n+1$ 个极大值点，这些点的函数值为 1。

应用

切比雪夫多项式在数值分析中尤其重要，例如在切比雪夫逼近和最小二乘逼近中。它们还广泛用于信号处理和控制系统设计中的滤波器设计，因为这些多项式可以帮助最小化频率响应的最大误差。

切比雪夫多项式展示了三角函数和多项式之间的深刻联系，使它们在解决涉及频率和振幅优化的复杂工程问题中非常有用。